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Geometría Proyectiva de Matemáticas

¡Bienvenidos a la clase de Geometría Proyectiva de Matemáticas! En esta clase aprenderemos los conceptos básicos detrás de la geometría proyectiva para abordar problemas matemáticos complejos. Aprenderemos cómo representar figuras geométricas en un lienzo bidimensional usando proyecciones y cómo manejar las propiedades geométricas de estas figuras. Al final de la clase, deberías ser capaz de definir la geometría proyectiva, explicar diferentes tipos de proyecciones de figuras, manipular rejillas de proyección y aplicar la geometría proyectiva a problemas matemáticos reales.

Contenido de la Clase

• Introducción a la Geometría Proyectiva: En esta sección aprenderemos qué es la geometría proyectiva y cómo se puede usar para resolver problemas geométricos y matemáticos complejos.
• Tipos de Proyecciones geométricas: Aprenderemos acerca de los diferentes tipos de proyecciones geométricas existentes, cómo representar figuras en cada una de ellas y cómo manipular la información que se proyecta en un lienzo.
• Ejercicios Prácticos: Durante esta sección abordaremos 3 ejercicios prácticos aplicando técnicas de geometría proyectiva para resolver los problemas. Cada ejercicio básico incluirá las ecuaciones y fórmulas necesarias para resolver el ejercicio.

Ejercicios Prácticos con Fórmulas

A continuación se detallan los 3 ejercicios prácticos a resolver usando fórmulas y proyecciones geométricas.

Ejercicio 1: Trazar un Triángulo Usando Proyecciones Oblicuas

La tarea es trazar un triángulo en un lienzo bidimensional usando proyecciones oblicuas. Para este ejercicio, el triángulo constará de 3 vértices con los siguientes valores:

• Vértices A = (2, 3)
• Vértices B = (4, 5)
• Vértices C = (6, 1)

La solución del ejercicio consiste en calcular los puntos de proyección de cada vértice y luego unir los puntos de proyección para trazar el triángulo. La ecuación usada para calcular los puntos de proyección es la siguiente:

Punto de proyección = Vértice + b * (dirección unitaria)

En la ecuación, «Vértice» es el punto de partida de la proyección, «b» es el coeficiente de proyección y «dirección unitaria» es el vector que dirige la proyección. Para nuestro ejemplo, «b» = 4.

El primer paso para resolver el ejercicio es calcular la dirección unitaria del vector que dirige la proyección. Esto se puede hacer usando el siguiente cálculo:

Dirección unitaria = (Vértice B – Vértice A) / || Vértice B – Vértice A ||

Lo primero es calcular «Vértice B – Vértice A» para determinar el vector entre los puntos A y B. Esto da (2, 2):

Vértice B – Vértice A = (4, 5) – (2, 3) = (2, 2)

La siguiente parte del cálculo es calcular «|| Vértice B – Vértice A ||» para calcular la magnitud del vector. Esto se obtiene usando la siguiente ecuación:

|| Vértice B – Vértice A || = √[(2²) + (2²)] = √8 = 2.83

Por lo tanto, la dirección unitaria del vector es (0,714; 0,714). Para calcular el punto de proyección del vértice A, usamos la siguiente ecuación:

Punto de proyección A = Vértice A + b * (dirección unitaria) = (2, 3) + 4 * (0,71; 0,71) = (7,11; 7,11)

Ahora podemos seguir el mismo proceso para calcular los puntos de proyección de los vértices B y C. Primero, calculamos la dirección unitaria de los vectores entre los vértices A y B y entre los vértices B y C:

Vértice B – Vértice A = (4, 5) – (2, 3) = (2, 2), || Vértice B – Vértice A || = √8 = 2.83
Vértice C – Vértice B = (6, 1) – (4, 5) = (-2, -4), || Vértice C – Vértice B || = √20 = 4.47

Esto da direcciones unitarias de (0,71; 0,71) y (-0.45; -0.90). Al calcular los puntos de proyección de los vértices B y C, obtenemos los siguientes resultados:

Punto de proyección B = (4,5) + 4 * (0,71; 0,71) = (9,35; 9,35)
Punto de proyección C = (6,1) + 4 * (-0.45; -0.90) = (3,3; -3,6)

Ahora tenemos los 3 puntos de proyección necesarios para trazar un triángulo. Al unir los puntos de proyección, obtenemos el siguiente resultado:

Ejercicio 2: Cambiar el Ángulo de Proyección

En este ejercicio, la tarea es cambiar el ángulo de proyección del triángulo anterior para obtener una nueva figura. Esta vez, usaremos un coeficiente de proyección de 5 para proyectar el triángulo en un ángulo diferente. El primer paso es calcular los vectores entre los vértices, la magnitud del vector y la dirección unitaria del vector:

Vértice B – Vértice A = (4, 5) – (2, 3) = (2, 2), || Vértice B – Vértice A || = √8 = 2.83
Vértice C – Vértice B = (6, 1) – (4, 5) = (-2, -4), || Vértice C – Vértice B || = √20 = 4.47

Esto da direcciones unitarias de (0,71; 0,71) y (-0.45; -0.90). Al calcular los puntos de proyección de los vértices A, B y C usando la ecuación «Punto de proyección = Vértice + b * (dirección unitaria)», obtenemos los siguientes resultados:

Punto de proyección A = (2, 3) + 5 * (0,71; 0,71) = (8,9; 8,9)
Punto de proyección B = (4,5) + 5 * (0,71; 0,71) = (14,25; 14,25)

Punto de proyección C = (6,1) + 5 * (-0.45; -0.90) = (2,15; -13,5)

Ahora tenemos los puntos de proyección para trazar un triángulo con el ángulo de proyección solicitado. Al unir los puntos de proyección, obtenemos el siguiente resultado:

Ejercicio 3: Proyección en una Caja

En este tercer ejercicio, debemos proyectar la figura en una caja usando un coeficiente de proyección de 6. La caja está definida por los siguientes 4 vértices:

• Vértice 1 = (2, 3)
• Vértice 2 = (4, 5)
• Vértice 3 = (6, 7)
• Vértice 4 = (8, 9)

Primero, calculamos los vectores entre los vértices de la caja, la magnitud de los vectores y la dirección unitaria:

Vértice 2 – Vértice 1 = (4, 5) – (2, 3) = (2, 2), || Vértice 2 – Vértice 1 || = √8 = 2.83

Vértice 3 – Vértice 2 = (6, 7) – (4, 5) = (2, 2), || Vértice 3 – Vértice 2 || = √8 = 2.83
Vértice 4 – Vértice 3 = (8, 9) – (6, 7) = (2, 2), || Vértice 4 – Vértice 3 || = √8 = 2.83

Esto da direcciones unitarias de (0,71; 0,71), (0,71; 0,71) y (0,71; 0,71). Luego se calculan los puntos de proyección usando la ecuación «Punto de proyección = Vértice + b * (dirección unitaria)» con un coeficiente de proyección de 6. Esto nos da los siguientes resultados:

Punto de proyección 1 = (2, 3) + 6 * (0,71; 0,71) = (10,41; 10,41)

Punto de proyección 2 = (4, 5) + 6 * (0,71; 0,71) = (12,51; 12,51)
Punto de proyección 3 = (6, 7) + 6 * (0,71; 0,71) = (14,61; 14,61)
Punto de proyección 4 = (8, 9) + 6 * (0,71; 0,71) = (16,71; 16,71)

Al unir los puntos de proyección de la caja, obtenemos el siguiente resultado: