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Inferencia Estadística Para Series de Tiempo de Matemáticas
La inferencia estadística para series de tiempo de matemáticas involucra encontrar la mejor aproximación matemática para un conjunto de datos. Esta aproximación es en general un modelo estadístico que se utiliza para abstraer del comportamiento de los datos. Los modelos tienen la ventaja de describir la información básica del comportamiento de los datos con un número limitado de parámetros. Esto simplifica el análisis estadístico y hace posible la inferencia estadística para realizar predicciones.
En este curso estudiaremos modelos de regresión lineal, polinomial, logístico y exponencial para inferir y predecir series temporales. También exploraremos el uso de técnicas como el análisis de supervivencia y la regresión autorregresiva de media móvil. Terminaremos el curso con una discusión sobre el uso de modelos estadísticos para la evaluación de riesgos, la mejora de la toma de decisiones y la estimación probabilística.
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Regresión Lineal
Vamos a utilizar la regresión lineal para estimar la tendencia de una serie de tiempo de datos meteorológicos. Para ello tenemos dos series temporales, la temperatura mínima y la temperatura máxima. En cada punto de tiempo hay un par de valores registrados correspondientes a la temperatura mínima y la temperatura máxima. El objetivo es estimar la tendencia de los datos a través de la regresión lineal.
El modelo lineal es el siguiente:
y = a * t + b,
donde t es el punto de tiempo, a es la tendencia, y b es la intercepto.
A continuación se muestra los datos con la regresión lineal superpuesta:
A partir del gráfico podemos ver que la línea de regresión es un ajuste adecuado a los datos. Esto significa que el modelo lineal que hemos elegido es el correcto para describir los datos en términos de tendencia.
Ejemplo 2: Análisis de Supervivencia
En este ejemplo utilizaremos el análisis de supervivencia para estimar la duración de una actividad. El análisis de supervivencia se utiliza para estudiar eventos hipotéticos que ocurren a lo largo de un periodo de tiempo. Para nuestro ejemplo vamos a utilizar la duración de una tarea en particular. Tenemos datos de las tareas que comenzaron durante una semana y la duración de cada una. El objetivo es estimar la duración de la tarea.
Para el análisis de supervivencia utilizaremos el siguiente modelo:
S(t) = exp(-λ*t),
donde S(t) es la función de supervivencia y λ es la tasa de caída.
A continuación se muestra el gráfico con los datos y la regresión lineal superpuesta:
A partir del gráfico podemos ver que el análisis de supervivencia es un ajuste adecuado a los datos. Esto significa que el modelo elegido es el correcto para describir la duración media de la tarea.
Ejemplo 3: Regresión Autorregresiva de Media Móvil (ARIMA)
En este último ejemplo utilizaremos la regresión autorregresiva de media móvil (ARIMA) para estimar la tendencia de una serie de tiempo. Esta técnica se utiliza para examinar las series temporales y pronosticar valores futuros. Esto se logra especificando una serie de modelos y ajustando los parámetros de acuerdo a los datos históricos. El objetivo es encontrar el modelo que mejor se ajusta a los datos e ingeniar un pronóstico preciso.
Para el modelo ARIMA utilizaremos el siguiente modelo:
ARIMA = ARIMA(p,d,q)
donde p es la cantidad de parámetros autorregresivos, d es el parámetro de diferenciación para obtener una serie estacionaria, y q es la cantidad de parámetros de media móvil.
A continuación se muestra el gráfico con los datos y el modelo ARIMA superpuesto:
A partir del gráfico podemos ver que el modelo ARIMA es un ajuste adecuado a los datos. Esto significa que el modelo escogido es el correcto para describir el comportamiento de los datos en términos de tendencia.