La integración es una técnica matemática que se utiliza para calcular el área bajo una curva. Se usa frecuentemente para calcular el área entre dos curvas en una única variación. Esta clase educativa se centrará en la Integración de Funciones de una Variable.

Teoría

Los límites de integración son los dos extremos sobre los cuales estamos calculando el área. Estos límites pueden estar definidos por una función o por puntos específicos en el plano. También hay una extensa variedad de métodos de integración, como la integración de la regla de Trapecio, la regla de Simpson y la regla de Cuadratura de Newton.

La regla de Trapecio se usa para aproximar el valor de la integral usando pequeños intervalos. El valor aproximado se obtiene sumando los áreas de todos los trapecios construidos sobre los límites de integración.

La regla de Simpson se usa para aproximar el valor de la integral usando intervalos más grandes. Esto se logra dividiendo el intervalo en subintervalos de distinto tamaño y luego sumando los áreas de las correspondientes parábolas.

Por último, la regla de Cuadratura de Newton también se usa para aproximar el valor de la integral usando intervalos más grandes pero sin necesidad de dividir los mismos en subintervalos. En este caso, se aproxima el área usando pequeños polinomios construidos sobre el intervalo de integración.

 Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Integre la función $f(x)=2x^2+5x$ con límites $x=-2$ y $x=4$.

Solución: Usando la regla de Trapecio, los trapecios construidos sobre los límites de integración pueden ser representados por la siguiente figura:

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[logo]: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Trapezoid_rule.png «Trapezoid rule»

El área total aproximada bajo la curva se calcula usando la siguiente fórmula:

$A=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right)$

donde $n$ es el número de subintervalos y $h$ su longitud.

Como, en este caso, nuestra longitud entre los límites de integración es 6, tendremos que el número de subintervalos es 5. Si evaluamos los datos de la gráfica en la fórmula anterior, obtenemos lo siguiente:

$A=\frac{6}{2}\left(f(-2)+2\sum_{i=1}^{4}f(x_i)+f(4)\right)$

$A=3\left(4+2(6+9+12+13)+17\right)$

$A= 3\times 70$

$A=210$

Por lo tanto, el área aproximada bajo la curva $f(x)=2x^2+5x$ con límites $x=-2$ y $x=4$ es 210.

Ejemplo 2: Integre la función $f(x)=3x+2$ con límites $x=2$ y $x=9$.

Solución: Usando la regla de Trapecio, los trapecios construidos sobre los límites de integración pueden ser representados por la siguiente figura:

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[logo]: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Trapezoid_rule.png «Trapezoid rule»

El área total aproximada bajo la curva se calcula usando la siguiente fórmula:

$A=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right)$

donde $n$ es el número de subintervalos y $h$ su longitud.

Como, en este caso, nuestra longitud entre los límites de integración es 7, tendremos que el número de subintervalos es 6. Si evaluamos los datos de la gráfica en la fórmula anterior, obtenemos lo siguiente:

$A=\frac{7}{2}\left(f(2)+2\sum_{i=1}^{6}f(x_i)+f(9)\right)$

$A= \frac{7}{2}\left(8+2(9+12+15+18+21+24)+27\right)$

$A= \frac{7}{2}\times 165$

$A= 567.5$

Por lo tanto, el área aproximada bajo la curva $f(x)=3x+2$ con límites $x=2$ y $x=9$ es 567.5.

Ejemplo 3: Integre la función $f(x)=2x^2+3$ con límites $x=-1$ y $x=9$.

Solución: Usando la regla de Simpson, los trapecios construidos sobre los límites de integración pueden ser representados por la siguiente figura:

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[logo]: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Simpson_rule.png «Simpson rule»

El área total aproximada bajo la curva se calcula usando la siguiente fórmula:

$A= \frac{h}{3}\left(f(x_0)+4\sum_{i=1,3,5…}^{n-1}f(x_i)+2\sum_{i=2,4,6…}^{n-2}f(x_i)+f(x_n)\right)$

donde $n$ es el número de subintervalos y $h$ su longitud.

Como, en este caso, nuestra longitud entre los límites de integración es 10, tendremos que el número de subintervalos es 5. Si evaluamos los datos de la gráfica en la fórmula anterior, obtenemos lo siguiente:

$A= \frac{10}{3}\left(1+4(5+15+31+53)+2(8+22+42)+64\right)$

$A= \frac{10}{3}\times 249$

$A= 830 $

Por lo tanto, el área aproximada bajo la curva $f(x)=2x^2+3$ con límites $x=-1$ y $x=9$ es 830.

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