Integración Por Partes E Intregrales Dobles

Integración Por Partes e Integrales Dobles de Matemáticas

Introducción a La Integración Por Partes

La Integración por partes o también conocida como la regla de L’Hospital, es una técnica utilizada para resolver integrales que se descomponen en dos productos, tal como integrales compuestas o productos de funciones.

Esta técnica es aplicada para encontrar la expresión de una integral que no puede solucionarse mediante los métodos convencionales de la integral, tales como la regla de la función inversa, mecanismos de integración directa, etc.

En términos simples, la integración por partes se refiere a la integración de un producto de dos funciones. Primero se calcula la solución para cada una de las partes, luego se aplica la regla de L’Hospital, para calcular la solución para la parte entera.

Teoría Explicada

La regla para la integración por partes indica que si la función se descompone como F (x) = f (x) * g (x), entonces la integral se resuelve utilizando la regla de L’Hospital, dándonos la siguiente expresión:

Int (F (x)) = f (x) * Int (g (x)) – Int (f (x) * d/dx (g (x)))

Esta regla se utiliza para encontrar la solución para integrales que no se pueden definir mediante la regla de la función inversa, mecanismos de integración directa, etc.

Debido a que la regla de L’Hospital solo se aplica a las integrales de producto, es obligatorio convertir cualquier integral en el formato de dos productos antes de aplicar la regla al cálculo.

Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1

Calcular la integral de xe^2x

Primero tenemos que descomponer la función en dos productos:

Int (x * e^2x ) = x * Int (e^2x ) – Int (x * 2e^2x )

Aplicamos la regla de L’Hospital para encontrar la solución para cada una de las partes:

Int (e^2x ) = e^2x + C

Int (x * 2e^2x ) = x * 2e^2x + C

Ahora reemplazando los valores de solución de cada parte en la expresión inicial, tenemos que:

Int (x * e^2x ) = x * e^2x + x * C – (x * 2e^2x + C)

Simplificando obtenemos:

Int (x * e^2x ) = x * e^2x – x * 2e^2x ) + (C – C)

Finalmente, resolviendo la integral:

Int (x * e^2x ) = x * e^2x – x * 2e^2x + C

Ejemplo 2

Calcular la integral de 3x² cos (2x)

Primero descompongamos la función en dos productos:

Int (3x² * cos (2x)) = 3x² * Int (cos (2x)) – Int (6x * cos (2x))

Aplicamos la regla de L’Hospital para encontrar la solución para cada una de las partes:

Int (cos (2x)) = sin (2x) + C

Int (6x * cos (2x)) = 6x * sin (2x) + C

Ahora reemplazando los valores de solución de cada parte en la expresión inicial, tenemos que:

Int (3x² * cos (2x)) = 3x² * sin (2x) + 3x² * C – (6x * sin (2x) + C)

Simplificando obtenemos:

Int (3x² * cos (2x)) = 3x² * sin (2x) + (C – 3x² * C – C)

Finalmente, resolviendo la integral:

Int (3x² * cos (2x)) = 3x² * sin (2x) + C

Ejemplo 3

Calcular la integral de 3x² sin (2x)

Primero, descompongamos la función en dos productos:

Int (3x² * sin (2x)) = 3x² * Int (sin (2x)) – Int (6x * sin (2x))

Aplicamos la regla de L’Hospital para encontrar la solución para cada una de las partes:

Int (sin (2x)) = -cos (2x) + C

Int (6x * sin (2x)) = -6x * cos (2x) + C

Ahora reemplazando los valores de solución de cada parte en la expresión inicial, tenemos que:

Int (3x² * sin (2x)) = 3x² * -cos (2x) + 3x² * C – (-6x * cos (2x) + C)

Simplificando obtenemos:

Int (3x² * sin (2x)) = 3x² * -cos (2x) – (C + 6x * C – C)

Finalmente, resolviendo la integral:

Int (3x² * sin (2x)) = 3x² * -cos (2x) + C