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Integración Triple de Matematicas

Teoría

La integración triple es una herramienta matemática que nos permite calcular integrales de funciones de 3 o más variables. Esta integración se emplea en problemas relacionados con áreas, volúmenes, el campo de vectores, la conservación de energía, etc. Por ejemplo, la integral triple nos sirve para calcular el volumen bajo una superficie sólida.

Al igual que en los casos de integración simple y doble (de dos variables), la integración triple nos permite reemplazar integrales imposibles de calcular, por sumas finitas y exactas.

Los límites de integración triple varían según el problema, suelen ser ubicados en el espacio tridimensional de la forma Z=F(X,Y). Esta definición nos brinda los límites de integración por partes, que se indican como a, b, c, d, e y f.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Integrar triplemente z = xy + x/y

Usamos F(x,y) = xy + x/y como función, y los límites de integración triple como a=1, b=2, c=2, d=3, e=3 y f=4.

Ejecutamos la siguiente integral:

$$\int_{1}^{4} \int_{2}^{3} \int_{2}^{3} xy + x/y dzdxdy = \left[\left[\ left[ x^2 y + \log(x) \right]_{2}^{3} \right]_{2}^{3} \right]_{1}^{4} = 90 – \frac{7}{2}$$

Ejemplo 2: Integrar triplemente z = xyz + 4

Usamos F(x,y) = xyz + 4 como función, y los límites de integración triple como a=2, b=3, c=3, d=4, e=4 y f=5.

Ejecutamos la siguiente integral:

$$\int_{2}^{5} \int_{3}^{4} \int_{3}^{4} xyz + 4 dzdxdy = \left[\left[\ left[ x^2 yz + 4x \right]_{3}^{4} \right]_{3}^{4} \right]_{2}^{5} = 440 – \frac{729}{2}$$

Ejemplo 3: Integrar triplemente z = xyz + cos xyz

Usamos F(x,y) = xyz + cos xyz como función, y los límites de integración triple como a=1, b=2, c=2, d=3, e=3 y f=4.

Ejecutamos la siguiente integral:

$$\int_{1}^{4} \int_{2}^{3} \int_{2}^{3} xyz + \cos xyz dzdxdy = \left[\left[\ left[ x^2 yz + \sin xyz \right]_{2}^{3} \right]_{2}^{3} \right]_{1}^{4} = 230.63 – \frac{54\pi}{2}$$