Introducción a la Integral Definida
En esta clase educativa sobre la integral definida, profundizaremos en la teoría integral así como también pondremos 3 ejemplos prácticos donde entenderemos mejor la aplicación de esta herramienta matemática. La información aquí expuesta permitirá al alumno entender el concepto de integral definida de manera clara y precisa.
Teoría
La integral (∫) es una herramienta matemática que nos permite calcular el área bajo una curva. Esta herramienta es aplicable a cualquier función, la cual puede ser lineal, cuadrática, cúbica o de cualquier grado de complejidad.
En la práctica, la integral de una función, tiene un límite superior e inferior, los cuales permitirán determinar la integral definida. Esta última, según su significado etimológico es una cantidad finita. Esto quiere decir que con la integral definida es posible calcular el área contenida entre la función y el eje y, estando los límites de integración fijados.
Matemáticamente, la forma de identificar a una integral definida es la siguiente:
∫ Límite Inferior Límite Superior ƒ (x) ds
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Calcule el área encerrada entre la parábola y = x2y los ejes X entre los valores 0 y 5.
Solución: Técnicamente, el área buscada sería la integral definida de la siguiente forma:
∫05x2dx
Haciendo uso de la regla integral, el proceso se desarrolla de la siguiente forma:
∫05x2dx = (1/3) x3 50 = 53/3
La variable cuyo valor determina el área encerrada es, por tanto 53/3. Esto es: el área encerrada entre la parábola y = x2y los ejes X entre los valores 0 y 5, es de 125 unitades cuadradas (125 u2).
Ejemplo 2: Calcule el área encerrada entre la parábola y = 10 – x2 y los ejes X entre los valores -3 y 3.
Solución: De la misma forma que en el ejemplo anterior, la integral definida que nos permite hallar el área buscada es la siguiente:
∫-33 (10 -x2) dx
También aquí, haciendo uso de la regla integral, el proceso se desarrolla de la siguiente forma:
∫-33 (10 -x2) dx = [-(1/3) x3 + 10x]3-3 = 54.
La variable cuyo valor determina el área encerrada es, por tanto 54. Esto es: el área encerrada entre la parábola y = 10 – x2 y los ejes X entre los valores -3 y 3, es de 54 unitades cuadradas (54 u2).
Ejemplo 3: Calcule el área encerrada entre la parábola y = 4x2 + 7x + 3 y los ejes X entre los valores 0 y 2.
Solución: Nuevamente, la integral definida que nos permite hallar el área buscada es la siguiente:
∫02 (4x2 + 7x + 3) dx
Aquí, haciendo uso de la regla integral, el proceso se desarrolla de la siguiente forma:
∫02 (4x2 + 7x + 3) dx = [(2/3) x3 + (7/2)x2 + 3x]20 = 19.5.
La variable cuyo valor determina el área encerrada es, por tanto 19.5. Esto es: el área encerrada entre la parábola y = 4x2 + 7x + 3 y los ejes X entre los valores 0 y 2, es de 19.5 unitades cuadradas (19.5 u2).