La Integral Indefinida

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Introducción a La Integral Indefinida de Matemáticas

En esta clase educativa se discutirá la teoría detrás de la integral indefinida y sus aplicaciones. A continuación se explicarán en detalle los principios y reglas básicas de la integral indefinida. Además, se darán ejemplos en profundidad de su aplicación, se discutirán algunas ideas importantes al ingerir cálculos de integración, se proporcionarán herramientas para ayudar a entender la teoría e incluso se presentarán algunos problemas interesantes para contribuir a material para prácticas adicionales. Esta clase educativa se centrará específicamente en la integración de funciones polinómicas.

¿Qué es una Integral Indefinida?

Una integral indefinida, también conocida como una integral simple, es una herramienta matemática usada para calcular áreas bajo una curva. Una integral se usa para encontrar los valores exactos de las áreas bajo funciones, tales como parábolas, sin necesidad de trazar líneas de contorno. Ahora, hay varias formas de representar una integral. La forma más común es la notación de integración.

Motivación Ejemplar

Vamos a considerar una función polinómica: y = x³- 4x² + 19x. Vamos a calcular el área bajo la curva de esta función de la izquierda de x= 0 a la derecha de x= 5. Esto se realiza usando la integral:

Área bajo la curva = ∫₀⁵(x³- 4x² + 19)dx>

Teoría Explicada

Las integrales comienzan con una línea de límite inferior que se representa con la letra «i». Esta marca el límite inferior del área entre el eje «x» y la función dada. A continuación, viene la letra «S», también llamada «sudo». Esta indica la altura hasta donde se extiende el área bajo la curva. Por último, la última variable es dx, que representa la variación de la longitud del área con el paso del tiempo. La integral, entonces, se lee como: «Área de 0 a 5 de la función polinómica es igual a la integral de 0 a 5 de este polinomio», donde dx representa la variación de la longitud con el paso del tiempo. Ahora, para calcular el área exacta bajo la curva mediante la integral, debemos usar los postulados usuales, tales como integrales parciales.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Calcule el área bajo la curva de y = 3×2 – 6x desde x = 0 hasta x = 3.
Solución: Esto se calcula usando la integral:

Área bajo la curva = ∫₀³(3×2 – 6x)dx

Primero, resolvamos la integral:

∫(3×2 – 6x)dx = x3 – 3×2 + C

Ahora, sustituimos los valores dados en la integral y calculamos el área:

Área bajo la curva = ∫₀³(3×2 – 6x)dx = 33 – 27 + C = 6 + C

Ejemplo 2: Calcule el área bajo la curva de y = 3x³ + 6x² desde x = 0 hasta x = 5.
Solución: Esto se calcula usando la integral:

Área bajo la curva = ∫₀⁵(3x³ + 6x²)dx

Primero, resolvamos la integral:

∫(3x³ + 6x²)dx = x4 + 3x³ + C

Ahora, sustituimos los valores dados en la integral y calculamos el área:

Área bajo la curva = ∫₀⁵(3x³ + 6x²)dx = 625 + 375 + C = 1000 + C

Ejemplo 3: Calcule el área bajo la curva de y = 5×4 + 10x² desde x = 0 hasta x = 2.
Solución: Esto se calcula usando la integral:

Área bajo la curva = ∫₀²(5×4 + 10x²)dx

Primero, resolvamos la integral:

∫(5×4 + 10x²)dx = x5 + 5x³ + C

Ahora, sustituimos los valores dados en la integral y calculamos el área:

Área bajo la curva = ∫₀²(5×4 + 10x²)dx = 32 + 40 + C = 72 + C