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Calculo De Limites Y Continuidad De Funciones De Varias Variables
Este curso proporcionará una introducción al cálculo de límites y continuidad de funciones de varias variables. Estos conceptos son importantes en una amplia variedad de campos académicos, como el cálculo, la economía y la estadística. Se explicará y demostrará cada uno de los conceptos esenciales para comprender y aplicar los principios del cálculo de límites y continuidad de funciones de varias variables.
Temario
- Límite y Continuidad de Funciones de una Variables
- Límite y Continuidad de Funciones de Multiples Variables
- Cálculo de Limites Indeterminados con Funciones de Varias Variables
Ejemplos prácticos resueltos:
Ejemplo 1: Limite y Continuidad de Funciones de una Variable
Calculemos el límite y la continuidad de la función f(x) = { x2 + 4, si x < 4; -2x + 16, si x≥4.
Aquí, tenemos dos valores de la función en el punto x = 4. La izquierda e y de la derecha. La izquierda se calcula como:
f(x) = x2 + 4
f(4) = (4)2 + 4 = 20.
La derecha se calcula como:
f(x) = -2x + 16
f(4) = -2(4) + 16 = 8.
Como tenemos dos valores diferentes, no hay continuidad en la función. Para determinar el límite, resolvemos f(x) igual a un número ya sea límite superior o inferior. En este caso, usamos la fórmula de la izquierda f(x) = x2 + 4. Usando el límite superior:
lim x→4+ (x2 + 4) = lim x→4+ (x + 4)2 = 16.
Usamos la misma fórmula para el límite inferior:
lim x→4- (x2 + 4) = lim x→4- (x + 4)2 = 16.
Por lo tanto, el límite de la función en el punto x = 4 es 16.
Ejemplo 2: Limite y Continuidad de Funciones de Multiples Variables
Calculemos el límite y la continuidad de la función g(x, y) = {xy2 + 2x + 4y, si (x, y) ≠ (2, -1); -xy + 4x + 12y, si (x, y) = (2, -1).
Aquí, tenemos dos valores de la función en el punto (x, y) = (2, -1). La de arriba e y de abajo. La de arriba se calcula como:
g(x, y) = xy2 + 2x + 4y
g(2, -1) = (2)(-1)2 + 2(2) + 4(-1) = -2 + 4 – 4 = -2.
La de abajo se calcula como:
g(x, y) = -xy + 4x + 12y
g(2, -1) = (-2)(-1) + 4(2) + 12(-1) = 2 + 8 – 12 = -2.
Como tenemos los mismo valores, hay continuidad en la función. Para determinar el límite, resolvemos g(x,y) = -2 con un límite superior o inferior.
lim x→2 y→−1 y limit(x→2 ) g(x, y) = -2.
Por lo tanto, el límite de la función en el punto (x, y) = (2, -1) es -2.
Ejemplo 3: Cálculo de Limites Indeterminados con Funciones de Varias Variables
Calculemos un límite indeterminado para la función h(x, y) = x2/y2 + 4×2/y + 3xy2, donde (x, y) se acerca al p0 (1, 5).
Primero, reescribimos la función en términos del punto p0 como se indica a continuación:
h(x) = (x – 1) 2/ (y – 5) 2 + 4(x – 1) 2 / (y – 5) + 3(x – 1)(y – 5)2
Ahora aplicamos la regla del límite para resolver el límite indeterminado. La regla del límite dice que el límite de una función no discontinua se puede calcular dividiendo la función en dos partes:
lim x→1 y→5 limit(x→1) (x – 1)2 / (y – 5)2 = 0
lim x→1 y→5 limit(x→1) 4(x – 1)2 / (y – 5) = 0
lim x→1 y→5 limit(x→1) 3(x – 1)(y – 5)2 = 0
Por lo tanto, el límite de la función h(x, y) en (1, 5) es 0.