Límites y Convergencia de Matemáticas

Teoría explicada

El concepto de límite en matemáticas es un punto matemático fundamental para entender el comportamiento de diversas funciones como aproximaciones a un punto. Un límite puede ser pensado como un punto donde el valor de una función se acerca sin llegar a ser igual. El concepto de convergencia también es fundamental en matemáticas y es un concepto relacionado con el de límite. Cuando una secuencia toma una cantidad limitada de valores, decimos que esta converginge a un valor. Estos conceptos son claves para entender diversas formas en las que podemos intentar resolver un problema con una función y aproximar un valor que este más cercano a la solución.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Hallar límite de la función escalonada $$f(x) = \begin{cases} 0 & x< 0\\ 1 & x\geq 0 \end{cases}, \forall x\in \mathbb{R}$$ en $x=0$

Para resolver este ejemplo, tomamos los valores de la función cuando $x–> 0^{-}$ y cuando $x–> 0^{+}$. Notamos que para $x–> 0^{-}$ el valor de la función es 0 y inmediatamente a partir de $x=0$ el valor pasa a ser 1. Esto quiere decir que el límite de la función en $x=0$ es 0, ya que éste se inclina hacia los valores inferiores cuando $x$ se aproxima a 0. Entonces, hallamos el límite $$\lim_{x\to 0} f(x) = 0.$$

Ejemplo 2: Supongamos que tenemos la siguiente secuencia en decimal $$a_n = (3.3, 3.33, 3.333, 3.3333, 3.33333, \dots)$$ ¿A qué converge esta secuencia?

Podemos observar que los valores de esta secuencia son 3 con un número cada vez mayor de 3s siguiendo tras el punto decimal. Al igual que en el caso anterior, estaríamos inclinándonos hacia el mismo valor cada vez, en este caso 3, sin llegar a él. Por lo tanto, podemos decir que esta secuencia converge a 3. Es decir, $$\lim_{n\to\infty} a_n = 3.$$

Ejemplo 3: Hallar límite de la función $$f(x) = \frac{5x+2}{2x-3}, \forall x\in \mathbb{R}$$
en $x=1.5$.

Este último ejemplo es un poco más complejo. Para hallar el límite de esta función, necesitamos sustituir los valores alrededor de $\pm 0,1$ y $1,5$ en la función, y notamos que el resultado tiende a una sola dirección, en este caso a 4. La razón de esto es debido a un principio de continuidad, donde los valores estarían convergiendo hacia un solo lugar. Por lo tanto, hallamos el límite correspondiente $$\lim_{x\to 1.5} f(x) = 4.$$