Clase educativa sobre límites y extremos de matemáticas
En esta clase educativa, estudiaremos sobre los límites y extremos de la matemática. El concepto de límite matemático es uno de los conceptos más importantes de la matemática y se encuentra en todas las áreas: límites mediante cálculo, límites en geometría, límites en análisis, etc.. Aprenderemos a calcular los límites y extremos de una función matemática para hallar el valor al que se aproxima una función.
Teoría explicada
Un límite es un, valor al que aproximadamente, una función se acerca a medida que su variable independiente toma un valor cercano al punto al que se dirige. Para definir un límite usamos los siguientes enunciados: «Cuando x tiende a a, entonces f(x) tiende a l». Donde l es el límite de f(x) cuando x tiende a a. Esto significa que al aumentar el valor de x que se aproxima a a, el valor de la función también se aproxima al límite l.
Por otro lado, el concepto de extremos nos indica un valor máximo o mínimo al que una función puede llegar en un determinado intervalo. Un extremo máximo se puede encontrar en el punto más alto de una función dentro de un intervalo y un extremo mínimo se halla en el punto más bajo de una función dentro de un intervalo. Podemos hallar los extremos calcular los valores de la función en el intervalo y decidir el extremo máximo y mínimo de acuerdo a los resultados.
3 ejemplos prácticos resueltos
Ejemplo 1: Hallar el límite de f(x) = x² + 4 al x tiende a 2.
Dado que x se aproxima a 2, aplicamos el teorema de límite para hallar el límite de la función:
Lím f(x) = lim (x² + 4) = lim(x²) + lim(4)
= 4 + 4
= 8
Por lo tanto, el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es igual a 8.
Ejemplo 2: Hallar los extremos de f(x) = x⁴ – 8x² +18 en el intervalo [-2 , 2].
Primero, calculamos el valor de la función en los dos puntos del intervalo:
f(2) = 2²⁴ – 8x² +18 = 16 – 32 + 18 = 2
f(-2) = (-2)²⁴ – 8x² + 18 = 16 – 32 + 18 = 2
Dado que encontramos los mismos valores en ambos extremos por lo tanto, los valores máximo y mínimo de la función, en el intervalo [-2 , 2], serán ambos 2.
Ejemplo 3: Hallar el límite de f(x) = x³ + 6x – 9 al x tiende a 3.
Dado que x se aproxima a 3, aplicamos el teorema de límite para hallar el límite de la función:
Lím f(x) = lim (x³ + 6x – 9) = lim(x³) + lim(6x) + lim(-9)
= 27 + 18 + (-9)
= 36
Por lo tanto, el límite de f(x) cuando x tiende a 3 es igual a 36.