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Límites en el Plano Real

Introducción

Un límite en el plano real es un concepto matemático importante que se refiere al valor de una función en un punto determinado de acercamiento. Los límites nos ayudan a entender cómo se comportan funciones en puntos específicos y cómo estas se extienden a intervalos. En esta clase, repasaremos definiciones básicas sobre límites, trataremos las diversas notaciones utilizadas, identificaremos patrones de límites y finalmente tocaremos tres ejemplos prácticos con fórmulas.

Definiciones y Notaciones Básicas

Un límite se define como el valor que una función adquiere cuando se aproxima a un punto a través de un intervalo. La notación apropiada para un límite es:

lim_x→a f(x) =L

En esta notación, ‘f(x)’ es la función dada, ‘a’ es el punto de acercamiento y ‘L’ es el límite de la función al acercarse a ‘a’.

Los límites pueden identificarse de tres formas diferentes:

• Límite Derecho: Límite desde la derecha al punto ‘a’.
• Límite Izquierdo Límite desde la izquierda al punto ‘a’.
• Límite Superior Límite cuando ‘x’ se aproxima a ‘a’ por encima de ‘a’.
• Límite Inferior Límite cuando ‘x’ se aproxima a ‘a’ por debajo de ‘a’.

Ejemplos Prácticos

Revisaremos a continuación los tres ejemplos prácticos con fórmulas, para ilustrar cada uno de los tipos de límite, empezando con el límite derecho.

Ejemplo 1: Límite Derecho

Consideremos la siguiente función y su límite derecho para lim_x→2 f(x) = 10:

f(x) = x² -4x +6

Hallaremos el límite:

lim_x→2 (x² -4x +6)
= lim_x→2 (x-2)·(x-3)
= lim_x→2 (x-2)·(x-2+1)
= lim_x→2 (x-2)(1)
= 1·(2-2)
= 0

Por lo tanto, lim_x→2 f(x) = 0.

Ejemplo 2: Límite Superior

Consideremos la misma función y su límite superior para lim_x→2⁺ f(x) = 10.:

f(x) = x² -4x +6

Hallaremos el límite:

lim_x→2⁺ (x² -4x +6)
= lim_x→2⁺ (x-2)·(x-3)
= lim_x→2⁺ (x-2)·(x-2+1)
= lim_x→2⁺ (x-2)(1)
= 1·(2-2)
= 0

Por lo tanto, lim_x→2⁺ f(x) = 0.

Ejemplo 3: Límite Izquierdo

Finalmente, consideremos la misma función y su límite izquierdo para lim_x→2^– f(x) = 10.:

f(x) = x² -4x +6

Hallaremos el límite:

lim_x→2^– (x² -4x +6)
= lim_x→2^– (x-2)·(x-3)
= lim_x→2^– (x-2)·(x-2+1)
= lim_x→2^– (x-2)(1)
= 1·(2-2)
= 0

Por lo tanto, lim_x→2^– f(x) = 0.

Conclusiones

Esperamos que esta clase les haya servido para comprender los fundamentos de los límites en el plano real. Estudiar límites es un concepto clave en la comprensión de cómo se comportan las funciones en los puntos específicos, y forma parte esencial del estudio de la matemática.