Otras Metodologías de Integración

Esta clase educativa sobre Otros Metodologías de Integración proporciona principios fundamentales y profundiza en particular en las diferentes metodologías de integración que existen. En esta clase, estudiaremos la regla del trapecio, los métodos de Simpson, los métodos de Euler, los métodos de Runge-Kutta y otras metodologías. También explicaremos con detalle cada una de estas metodologías.

Primer tema: Regla del Trapecio

La regla del trapecio (también conocida como regla trapezoidal) es uno de los métodos más utilizados de aproximación de la integral. Esto se debe a la facilidad de su implementación y también a su uso para la resolución de problemas de aproximación de integración, ya que su preferida funcionalidad de implementación se da mediante la aproximación de los subintervalos en un único trapecio al poco ajustado a la curva de la función. Se usan los subintervalos para establecer el área aproximada del trapecio, y luego una integral se aproxima en consecuencia.

Ejemplo práctico: Para calcular límite de la integral ∫₀² x² dx , la regla trapezoidal nos dice que se necesitan subdivisiones de los limites 0 y 2 .

Taylor 0 y 2 en 8 partes iguales, se tendrían los siguientes subintervalos reales : [0, 0.25], [0.25, 0.5], [0.5, 0.75], [0.75, 1], [1, 1.25], [1.25, 1.5], [1.5, 1.75] y [1.75, 2]. Calcule la aproximación de la integral usando la regla de trapecio para cada subintervalo dados, aplicando así la fórmula de la regla del trapecio.

Primero calculamos el valor f(x) para cada subintervalo y lo sustituimos en la fórmula del trapecio, para el subintervalo [0, 0.25], nuestros valores son f(0) = 0; f (0.25) = 0.066 ; el límite de la integral para cada subintervalo es 0.25-0 = 0.25, luego el área bajo la curva para este trapo seria:

Área Trapecio = (1/2) * 0.25 (0 + 0.066) = 0.0133

Segundo tema: Simpson’s Method

El método de Simpson es un algoritmo numérico basado en aproximaciones polinomials. Esta técnica se usa para aproximar la integral definida de una única función en un intervalo dado. Esta aproximación se realiza dividiendo el intervalo en subintervalos contiguos, evaluando la función en los puntos medios de los subintervalos y realizando la sumatoria de los términos obtenidos para obtener el resultado final. Esta técnica se conoce como la «regla de Simpson» o el «método compuesto de Simpson».

Ejemplo práctico: Para calcular el límite de la integral ∫_-2² x³ dx , el método de Simpson nos dice que se necesitan subdivisiones de los limites -2 y 2 para un intervalo [a,b].

Dividiendo -2 y 2 en 4 partes iguales, se obtienen los siguientes subintervalos reales : [-2, -1], [-1, 0], [0, 1] y [1, 2]. A continuación calculamos el valor de f(x) para cada subintervalo y lo sustituimos en la fórmula de Simpson para aproximar el área del subintervalo.

Para el subintervalo [-2, -1], nuestros valores son f(-2) = -8 , f (-1) = -1, f (0) = 0. El límite de la integral para cada subintervalo es -1-(-2) = 1, entonces el área bajo la curva para este subintervalo seria:

Área Simpson = ((1/3) * 1 (8 + 4(-1) + 0)) = -3

Tercer tema: Método de Euler

El método de Euler es un método numérico utilizado para calcular la solución de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y así también para calcular integrales. Utiliza falsos subintervalos para aproximar los valores de una función en un punto dado. El método de Euler es uno de los algoritmos numéricos más simples y más fáciles de implementar.

Ejemplo práctico: Para calcular el límite de la integral ƒ(x)dx , el método de Euler necesita los valores iniciales ƒ(x₀) y el número de subintervalos n.

Tomemos el ejemplo, ƒ(x) = x², ƒ(x₀] = 0, [a,b] = [0,2] y el número de subintervalos n = 8.

Con estos datos, según el método de Euler, calculamos el intervalo Δx, dividiendo el intervalo [a,b] en 8 partes (Δx = 0.25) y luego calculamos la pendiente (∆f/∆x = 2x) en cada punto. Ahora calculamos el valor de f(x) en los próximos falso subintervalos mediante la siguiente fórmula:

f(x+Δx) = f(x) + Δx * (∆f/∆x)

Por lo tanto, el área bajo la curva para el punto f(x1) seria:

Int[f(x) dx] = Δx * ƒ(x1) = 0.25 * 0.25