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Optimización de funciones matemáticas
Aprende a usar optimización para encontrar los máximos y mínimos de funciones matemáticas en esta clase educativa. Después de entender la teoría, verás cómo se pueden aplicar tres ejemplos prácticos a la vida real.
Introducción a la optimización
La optimización es un área de la matemática en la que se busca encontrar el máximo o mínimo de una función. Esto significa que buscamos los números (o vectores) para los cuales la función alcanza su mayor o menor valor en su dominio.
Los métodos de optimización proceden por medio de análisis de la función, cálculo numérico, programación matemática, etc. Muchas veces esta clase de problemas se pueden considerar como parte de una herramienta para problemas de economía, donde se busca la mejor solución a un problema.
3 ejemplos prácticos de optimización de funciones matemáticas
Ejemplo 1: El problema de los alcaldes de la ciudad
Supóngase que existen tres alcaldes en una ciudad y todos ellos tienen diferentes niveles de desempeño en base a los recursos económicos con los que cuentan. El primer alcalde tiene un presupuesto de 600 mil pesos para gastar en la ciudad, el segundo alcalde tiene un presupuesto de 900 mil pesos y el tercero, un presupuesto de 1200 mil pesos. Se quiere encontrar el presupuesto óptimo para que la ciudad obtenga el máximo beneficio. Usando la función de optimización, en este caso se tendría que maximizar la cantidad de dinero gastada para alcanzar el máximo nivel de satisfacción para la ciudad. La fórmula matemática para este ejercicio sería la siguiente:
max P = 600 x + 900 y + 1200 z
Sujeto a:
- x + y + z = 1
- x ≥ 0
- y ≥ 0
- z ≥ 0
Lo primero que hay que hacer es escribir la ecuación con la cual se quiere optimizar, en este caso el presupuesto total se refleja en la formula P. Después agregamos las restricciones, en este caso que la suma de los tres alcaldes debe suman 1 (todo el presupuesto disponible es utilizado) y que todos los alcaldes tienen que usar al menos 0 pesos. Para resolver este ejercicio, primero se despeja la ecuación para encontrar el valor máximo, en este caso se despejan los coeficientes 600 y 900. Al hacer esto, se obtiene la siguiente ecuación:
P max = 900-600x
Ahora, con este valor de P máx, se obtiene el valor para x haciendo uso de la primer restricción, en este caso: x=1/3. Entonces el valor óptimo para x es 1/3, para y = 2/3 y para z = 0 (ya que no se puede gastar más de lo que se tiene). Al hacer los cálculos usando estos valores obtenidos, se obtiene la siguiente solución:
P máx = 1000. Con esta solución se obtiene el presupuesto óptimo para la ciudad.
Ejemplo 2: El problema de inversión de la empresa ABC
Supóngase que una empresa desea invertir en una nueva línea de productos. Esta empresa tiene tres alternativas disponibles para invertir sus recursos. La primera opción requiere invertir 500 mil pesos, la segunda opción requiere invertir 600 mil pesos y la tercera opción requiere invertir 700 mil pesos. Se pretende encontrar la mejor alternativa para invertir en base al monto de capital para que se obtenga el mayor retorno de inversión. Usando la función de optimización en este caso se tendría que maximizar la cantidad de dinero gastada para obtener el máximo retorno de inversión. La fórmula matemática para este ejercicio sería similar a la del ejemplo anterior, cambiando los valores de cada alternativa.
max P = 500 x + 600 y + 700 z
Sujeto a:
- x + y + z = 1
- x ≥ 0
- y ≥ 0
- z ≥ 0
De la misma forma que en el ejemplo anterior, se despeja la ecuación para encontrar el valor máximo, en este caso se despejan los coeficientes 500 y 600. Por lo tanto, la ecuación para el valor de de P max en este caso es:
P max = 600-500x
Ahora, al igual que el ejemplo anterior, con este valor de P máx, se obtiene el valor para x haciendo uso de la primera restricción, en este caso x = 2/3. Entonces el valor óptimo para x es 2/3, para y =1/3 y para z = 0 (ya que no se puede invertir más de lo que se tiene). Al hacer los cálculos con estos valores obtenidos, se obtiene la siguiente solución:
P máx = 660. Con esta solución se obtiene el presupuesto óptimo para la empresa ABC.
Ejemplo 3: El problema de las cargas de venta de la empresa XYZ
Supóngase que una empresa desea repartir el presupuesto para cargas de ventas entre tres departamentos. El primer departamento recibirá un presupuesto de 500 mil pesos, el segundo, 800 mil pesos y el tercero, 1 millón de pesos. El objetivo de la empresa es encontrar la mejor distribución de los recursos para obtener las mayores ventas posibles. Usando la función de optimización, para este ejercicio se tendría que maximizar la cantidad de dinero invertido para lograr la mayor cantidad de ventas. Donde la fórmula matemática para este negocio será la misma que en los ejemplos anteriores, solo cambiando los valores de cada alternativa.
max P = 500 x + 800y + 1000 z
Sujeto a:
- x + y + z = 1
- x ≥ 0
- y ≥ 0
- z ≥ 0
De la misma forma que en los ejemplos anteriores, se despeja la ecuación para encontrar el valor máximo, en este caso se despejan los coeficientes 500 y 800. Por lo tanto, la ecuación para el valor de de P max en este caso es:
P max = 800-500x
Ahora, al igual que en los ejemplos anteriores, con este valor de P máx, se obtiene el valor para x haciendo uso de la primera restricción, en este caso x = 3/4. Entonces el valor óptimo para x es 3/4, para y =1/4 y para z = 0 (ya que no se puede gastar más de lo que se tiene). Al hacer los cálculos con estos valores obtenidos, se obtiene la siguiente solución:
P máx = 900. Con esta solución se obtiene el presupuesto óptimo para la empresa XYZ.