Clase de Planos y Rectas en matemáticas

Contenido:

• Introducción a Planos y Rectas
• Ecuación de un Plano
• Ecuación de una Recta
• Ejemplos prácticos

Introducción a Planos y Rectas

Un plano es una superficie limitada formada por dos dimensiones: anchura y largo. Por su parte, una recta es la unión entre dos puntos, teniendo solo un punto de partida y ningún punto de llegada. Estas dos primeras figuras se caracterizan por estar formadas únicamente por los mismos componentes que ya existen en geometría bidimensional. Esto quiere decir, que si un plano o una recta fueran parametrizados en tres o más dimensiones, se transformarían en figuras de diferente forma.

Ecuación de un Plano

La ecuación de un plano se define como una serie de parámetros matemáticos expresados en forma de expresión, variando los índices de este de acuerdo a la complejidad y a la orientación que posea. Esta ecuación está formada en general por tres términos: una incógnita, una constante y un número con su respectivo signo; generalmente, esta ecuación se expresa como: AX + BY + CZ = 0. La ecuación de un plano se utiliza para determinar los límites del mismo, además de para recorrer los puntos -que en esta situación serían los vértices- de la figura.

Ecuación de una Recta

La ecuación de la recta se define como una serie de parametros matemáticos expresados en forma de ecuación, variando los índices de esta de acuerdo a la complejidad y a la orientación que posea. Esta ecuación está formada en general por dos términos: una incógnita, una constante y un número con su respectivo signo; generalmente, esta ecuación se expresa como: AX + BY = C. La ecuación de una recta se utiliza para determinar los límites de la misma, además de para recorrer los puntos -que en esta situación serían los vértices- de la figura.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-4, -5) y (5, 2)

Lo primero que hay que hacer para resolver este problema es usar la fórmula: Y2-Y1/X2-X1. Sustituimos los valores: (2- -5/ 5- -4) = 7/9. Esto quiere decir que el pendiente de la recta es 7/9 o -9/7. Ahora, tenemos que sustituir uno de los puntos en la forma y=mx+b, siendo m el pendiente. Por ejemplo, usamos el punto (-4,-5). Entonces, -7/9x – 4 + b= -5. Por lo que, b= -3/9, entonces la ecuación queda como -7/9x – 4 – 3/9=0. Y la ecuación de la recta es y= -7/9x-13/9

Ejemplo 2:

Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,4,2), (-4,5,0) y (-5,-4,-1)

Para formar la ecuación de un plano necesitamos tres puntos, los cuales ya sabemos. Lo primero que debemos hacer es encontrar la dirección de la recta que construye los dos puntos: (1 4 2) y (-4 5 0). Usaremos la fórmula Y2-Y1/X2-X1: (5-4/-4-1) = 1/-5 = -1/5. Por otra parte, para encontrar la intersección de la recta con un eje se usa la forma y=mx+b, siendo m el pendiente. Por ejemplo, usamos el punto (-4,5,0). Entonces, usamos la ecuación: -1/5x-4+b= 0. Por lo cual, b=-4. Ahora ya podemos formar la ecuación de la recta: -1/5x-4-4=z. La ecuación de la recta queda como: -1/5x-8=z. Ahora, vemos que el plano debe pasar por el punto (-5,-4,-1). Usando esta información, en la ecuación del plano usamos la siguiente forma: a(-5)-b(4)+c(-1)= 0, esto sería: -5a + 4b – c = 0. Por lo tanto, al tener ahora las dos ecuaciones, y la de la recta y esta ecuación: a(-1/5)-b(8)+c = 0, podemos sustituir -1/5 por a y 8 por b. Analizamos la primera ecuación: -5 ( -1/5) + 4 (8 ) – C = 0. El resultado es C = -23/5. Entonces, la ecuación del plano sería: -1/5x – 8 = -23/5z

Ejemplo 3:

Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (3, 1, -2) , (2, 4, 3) y (-1, 2, 4).

Para formar la ecuación de un plano necesitamos tres puntos, los cuales ya sabemos. Lo primero que debemos hacer es encontrar la dirección de la recta que construye los dos puntos: (3 1 -2) y (2 4 3). Usamos la fórmula Y2-Y1/X2-X1: (4-1/2-3)=3/-1. Por lo tanto, el pendiente de la recta es -3. Ahora, para encontrar la intersección de la recta con un eje se usa la forma y=mx+b, siendo m el pendiente. Por ejemplo, usamos el punto (2,4,3). Entonces, usamos la ecuación: -3*2+b=3. Entonces, b=9. Ahora ya podemos formar la ecuación de la recta: -3x +9=z. La ecuación de la recta queda como -3x+9=z. Ahora, vemos que el plano debe pasar por el punto (-1,2,4). Usando esta información, en la ecuación del plano usamos la siguiente forma: a(-1)-b(2)+c(4)=0. Esto seria: -a + 2b + 4c=0. Por lo tanto, al tener ahora las dos ecuaciones: -3x+9=z y -a+2b+4c=0, podemos sustituir -3pora y 9 por b. Analizamos la primera ecuación: -(-3)+2 ( 9)+ 4c =0. El resultado es c=3. Entonces, la ecuación del plano sería: -3x + 9 = 3z.