.
Clase Educativa: Predicción en Series de Tiempo de Matemáticas
Introducción
Predecir el futuro de los datos de una serie temporal puede ser un desafío útil en muchas áreas, desde finanzas hasta medicina. En matemáticas, la predicción en series temporales representa un conjunto de técnicas de análisis que se utilizan para estimar la tendencia futura en una serie temporal. Las principales metodologías incluyen el uso de métodos estadísticos, como media móvil, modelos autorregresivos e integrados de procesos estocásticos, y el análisis de contenido de frecuencia.
Teoría Explicada
En una serie temporal, el comportamiento futuro de los datos se puede predecir usando una variedad de métodos estadísticos. La predicción mediante la media móvil, o simplemente media, consiste en promediar los datos previos para obtener una estimación de la tendencia futura. Por ejemplo, si tenemos 100 datos previos, un promedio de los últimos 10 datos nos dará una idea aproximada de la dirección en la que tendrán los datos en el futuro cercano. El modelo autorregresivo es una versión mejorada de la media móvil en la que la media se calcula utilizando los datos previos a diferentes grados de profundidad: los datos en si mismo, la media, el promedio de un subset de datos, etc. La idea es usar los datos pasados para predecir el comportamiento futuro. Por último, el análisis de contenido de frecuencia se basa en la idea de que la tendencia futura de los datos se pueden predecir si se conocen las formas de ondas en la serie temporal. Mediante el uso de técnicas matemáticas como transformada de Fourier, se identifican estas formas de onda, que luego se pueden utilizar para predicción.
Ejemplos Prácticos Resueltos con Fórmulas
1) Media Móvil
Supongamos que tenemos una serie temporal de 8 datos: [1, 4, 5, 8, 10, 13, 13, 16]. Si queremos predecir cómo continuará la serie temporal en el futuro cercano, podemos usar la media móvil para ayudarnos. Entonces, calculamos la media móvil con una ventana de 3 elementos:
Running Average = [4, 5, 8] + [5, 8, 10] + [8, 10, 13] + [10, 13, 13] + [13, 13, 16]
= [5, 6.666, 9.666, 11.666, 14]
En este ejemplo, la predicción para la tendencia futura se basa en el valor de la media móvil, que es 14. Por lo tanto, predecimos que la próxima medición de la serie temporal será un valor de 14.
2) Modelo Autorregresivo
Supongamos ahora que tenemos una serie temporal de 8 datos: [12, 10, 11, 8, 7, 8, 8, 11]. El modelo autorregresivo es una técnica mejorada de la media móvil en la que la media se calcula utilizando datos previos a diferentes grados de profundidad. Entonces, en este caso, el modelo autorregresivo podría usarse para calcular la tendencia futura de la serie temporal. La fórmula para calcular el valor autorregresivo es la siguiente:
AR = α *Previous Value + (1-α) * Predicted Value
En este ejemplo, supongamos que α = 0,4. Entonces, el valor predicho para el próximo elemento sería:
AR = 0.4 * 11 + 0.6 * 10 = 10.4
Por lo tanto, basándonos en el modelo autorregresivo, la próxima medición de la serie temporal será un valor de 10,4.
3) Análisis de Contenido de Frecuencia
Finalmente, el análisis de contenido de frecuencia es otra técnica utilizada para predecir la tendencia futura de una serie temporal. El análisis de contenido de frecuencia se basa en el principio de identificar las formas de onda en el conjunto de datos. Estas formas de onda se pueden identificar mediante la transformada de Fourier, que se utiliza para encontrar los componentes de la señal, es decir, las frecuencias a las que la serie temporal responde. Una vez que se tienen los componentes, es entonces posible predecir la tendencia futura de los datos. Por ejemplo, supongamos que una serie temporal tiene un componente de frecuencia de 0,5. Entonces, haciendo una transformación de Fourier inversa, podremos predecir el valor futuro de la serie temporal. En este ejemplo, si predicemos que el próximo valor será igual al valor del componente de 0,5, entonces el próximo valor predicho sería un 1.