Propiedades de Desigualdades en Matemáticas
Teoría
Una desigualdad en matemáticas, como se conoce, es una relación entre dos expresiones matemáticas en la cual el resultado de esta relación no puede ser igual. Existen varios tipos de desigualdades en matemáticas, cada una de las cuales tiene sus propias propiedades. Las propiedades de desigualdades atañen a cómo se debe manejar la desigualdad para simplificarla, resolverla, o aproximar el resultado. Estas propiedades también se pueden utilizar para desarrollar nuevas desigualdades a partir de aquellas ya existentes.
Propiedades de Conmutatividad
La primera propiedad con la que debemos familiarizarnos es la propiedad conmutativa o de permutación. Esta propiedad dice que ambos lados de una desigualdad siguen siendo desigualdad si se intercambian los términos entre los lados. En otras palabras, si se tiene una desigualdad como 2>3 entonces intercambiando los términos se obtiene 3>2, la cual sigue siendo igual de verdadera que la primera. Matemáticamente hablando, esto significa que la propiedad de conmutatividad es una propiedad de igualdad para desigualdades.
Propiedad de Transitividad
La segunda propiedad que se debe conocer es la propiedad de transitividad. Esta propiedad dice que si hay dos desigualdades que contienen al mismo término en sus extremos, p.ej ab y b>c, entonces se puede concluir que también hay una desigualdad entre a y c. En otras palabras, si tenemos ab y b>c entonces se concluye a La tercera propiedad es la propiedad multiplicativa. Esta propiedad se refiere a la operación de multiplicar los dos lados de una desigualdad. Si el factor multiplicativo es positivo, el signo de la desigualdad no se verá afectado. Por el contrario, si el factor multiplicativo es un número negativo, entonces el signo de una desigualdad cambiará. Esta propiedad se aplica para todo tipo de desigualdades. Ejemplo 1: Resolver para x la desigualdad x<2+3. Ahora, utilizando la propiedad aditiva, sumamos 2 a ambos lados para obtener: -1>-x. Finalmente, dividiendo ambos lados de la desigualdad por -1 obtenemos: x<1. Ejemplo 2: Resolver para x la desigualdad x2+5x≤7. x2 + 5x = x(x + 5) ≤ 7. Ahora, despejando x tenemos x ≤ 7/ (x + 5). Finalmente, multiplicando los dos lados de la desigualdad por (x + 5) obtenemos x2 + 5x ≤ 7. Ejemplo 3: Resolver para x la desigualdad x2+3x≤6 (x≥0) Martin, D. (2016). Propiedades de desigualdades. Retrieved from https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dmartin/Destrezas/Desigualdades/Propiedades.htmlPropiedad multiplicativa
Ejemplos Prácticos (resueltos)
Utilizando la propiedad multiplicativa, podemos multiplicar ambos lados de la desigualdad por -1 para obtener: -x>-2-3. Ahora, utilizando la propiedad conmutativa, podemos reordenar ambos lados: -3>-x-2.
Utilizando la propiedad conmutativa, podemos reordenar los términos de la desigualdad como 5x + x2 ≤ 7. Ahora, al despejar el término que tiene una incógnita, sumamos los dos términos con una misma incógnita,
Utilizando la propiedad multiplicativa, podemos multiplicar ambos lados de la desigualdad por -1 para obtener: -x2-3x ≥ -6. Ahora, utilizando la propiedad conmutativa, podemos reordenar ambos lados: -3x ≥ -x2-6. Despejando x, tenemos -3x/(-x2-6) ≥ 0. La desigualdad es verdadera cuando x≤3+ √6. Finalmente, usando la propiedad de transitividad, como x≥0 sabemos que x≤3+ √6.Referencia