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Clase de Proyección de Vectores de Matemáticas
La proyección de vectores es el producto de un vector a otro vector, y es un procedimiento muy común en Matemáticas. El producto es un escalar, es decir, un número, que depende de los vectores involucrados. El resultado de la proyección de vectores tiene muchas aplicaciones, desde Calculus hasta producción industrial. Esta clase te dará una introducción a la teoría y la aplicación práctica de la proyección de vectores. Aprenderemos la fórmula para calcular el producto vectorial, y también aprenderemos cómo resolver problemas y ejemplos más detallados con ejemplos.
Teoría
La proyección de un vector es una función de dos vectores (vectores A y B) y su ángulo θ entre ellos (como se muestra en la figura 1). Dados estos vectores, se puede calcular el producto escalar entre ellos usando la siguiente fórmula:
Producto escalar = A.B = |A||B| Cos θ
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1
Un vector A tiene una dirección y magnitud iguales a (2, 3) y un vector B tiene una dirección y magnitud iguales a (3, -2). Calcule el producto escalar de estos vectores.
Primero necesitamos calcular la magnitud de los vectores A y B:
|A| = |(2, 3)|= √22 + 32 = √13
|B| = |(3, -2)| = √32 + (-2)2 = √13
Ahora calculamos el ángulo entre los vectores A y B usando la siguiente fórmula:
Cos θ = (2×3 + 3x-2)/(|A||B|) = 2/13
Ahora podemos calcular el producto escalar entre A y B:
A.B = (|A||B|)x(Cos θ) = (13×2)/13 = 2
Por lo tanto, el producto escalar entre los vectores A y B es 2.
Ejemplo 2
Un vector A tiene una dirección y magnitud iguales a (2, -1) y un vector B tiene una dirección y magnitud iguales a (4, 3). Calcule el producto escalar de estos vectores.
Primero necesitamos calcular la magnitud de los vectores A y B:
|A| = |(2, -1)|= √22 + (-1)2 = √5
|B| = |(4, 3)| = √42 + 32 = √25
Ahora calculamos el ángulo entre los vectores A y B usando la siguiente fórmula:
Cos θ = (2×4 + (-1)x3)/(|A||B|) = 11/25
Ahora podemos calcular el producto escalar entre A y B:
A.B = (|A||B|)x(Cos θ) = (25×11)/25 = 11
Por lo tanto, el producto escalar entre los vectores A y B es 11.
Ejemplo 3
Un vector A tiene una dirección y magnitud iguales a (4, -3) y un vector B tiene una dirección y magnitud iguales a (2, 5). Calcule el producto escalar de estos vectores.
Primero necesitamos calcular la magnitud de los vectores A y B:
|A| = |(4, -3)|= √42 + (-3)2 = √25
|B| = |(2, 5)| = √22 + 52 = √29
Ahora calculamos el ángulo entre los vectores A y B usando la siguiente fórmula:
Cos θ = (4×2 + (-3)x5)/(|A||B|) = -1/29
Ahora podemos calcular el producto escalar entre A y B:
A.B = (|A||B|)x(Cos θ) = (25x-1)/29 = -25/29
Por lo tanto, el producto escalar entre los vectores A y B es -25/29.