Representación Gráfica de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Este curso se centrará en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y su representación gráfica. Las ecuaciones lineales, también denominadas «ecuaciones de primer grado», son aquellas en las que aparecen variables con exponente 1. La solución gráfica de un sistema es la representación en un plano cartesiano de la intersección de sus ecuaciones.
Teoría Explicada
- Concepto de ecuación lineal.
- Coeficientes directores y variables.
- Recta, paralelismo y perpendicularidad.
- Cálculo de la intersección de dos rectas.
- Sistema de dos ecuaciones lineales.
- La solución gráfica de un sistema.
- El plano cartesiano.
Ejemplo Práctico 1
Se desea representar gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: 2x + 3y = 8
Ecuación 2: x + y = 3
Despejando la x en la segunda ecuación, obtenemos: x = 3 – y, lo cual aplicamos en la primera ecuación, teniendo como resultado: 2 (3 – y) + 3y = 8
Finalmente, obtenemos la siguiente ecuación lineal: 6 – 2y + 3y = 8. Como vemos, este tipo de ecuación viene dada por la suma de alguna variable y su coeficiente directo, en este caso: 3y.
En el plano cartesiano, para la primera ecuación podemos escribir la ecuación de la recta como: y = (-2/3) x + 8/3.
De la misma forma, la segunda ecuación se puede expresar como: y = (-1) x + 3.
Cuando se cruzan estas dos rectas tendremos el lugar geométrico que contendrá la solución del sistema. Para averiguar la solución numérica hay que sustituir en las ecuaciones originales los valores de x e y para la intersección.
Ejemplo Práctico 2
Se desea representar gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: 4x – y = 5
Ecuación 2: x + 3y = 9
Despejando la x de la segunda ecuación, obtenemos: x = 9 – 3y, lo cual aplicamos en la primera ecuación, teniendo como resultado: 4 (9 – 3y) – y = 5. Esto reducido a una ecuación lineal nos queda: 36 – 12y – y = 5, cuyo coeficiente directo asociado a la variable y es -13.
En el plano cartesiano, para la primera ecuación podemos escribir la ecuación de la recta como: y = (4/1) x + (-5/1).
De la misma forma, la segunda ecuación se puede expresar como: y = (-3/1) x + (9/1).
Cuando se cruzan estas dos rectas tendremos el lugar geométrico que contendrá la solución del sistema. Para averiguar la solución numérica hay que sustituir en las ecuaciones originales los valores de x e y para la intersección.
Ejemplo Práctico 3
Se desea representar gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: x + 2y = 5
Ecuación 2: 2x – 3y = 6
Despejando la x en la segunda ecuación, obtenemos: x = 3/2 y + 3, lo cual aplicamos en la primera ecuación, teniendo como resultado: 1/2 y + 3 + 2y = 5. Esto reducido a una ecuación lineal nos queda: 5/2 y + 3 = 5, cuyo coeficiente directo asociado a la variable y es 5/2.
En el plano cartesiano, para la primera ecuación podemos escribir la ecuación de la recta como: y = (-1/2) x + (5/1).
De la misma forma, la segunda ecuación se puede expresar como: y = (-3/2) x + (3/1).
Cuando se cruzan estas dos rectas tendremos el lugar geométrico que contendrá la solución del sistema. Para averiguar la solución numérica hay que sustituir en las ecuaciones originales los valores de x e y para la intersección.