Superficies de Segundo Grado de Matemáticas
Introducción: Las superficies de segundo grado son un tema importante en matemáticas ya que se trata de unas ecuaciones cubiertas por una variedad de problemas de ingeniería. Esta clase le presentará la teoría general de las superficies de segundo grado y también le proporcionará algunos ejemplos prácticos de ejercicios con explicaciones detalladas sobre cómo resolverlos con fórmulas.
Teoría
Una superficie de segundo grado está formada por una ecuación que consta de dos variables. Esta ecuación puede ser representada como la desigualdad de la siguiente forma:
F(x,y) ≤ 0
donde F podría ser cualquier función de dos variables.
Cada superficie de segundo grado es única en su propia forma. Dependiendo de los coeficientes de la ecuación, la gráfica que se formará será diferente. Por ejemplo, la gráfica se puede tratar como una ‘U’, una ‘V’, una ‘O’, una ‘D’, una ‘T’ o una ‘L’. De esta forma, la forma de la gráfica nos da la información de que la ecuación representa.
Las superficies de segundo grado también se utilizan para obtener el área total de una superficie formada por la coordenada axial del eje x y sus respectivas coordenadas del eje y, que es un problema clásico en ingeniería.
Ejercicios Ejemplos
Ejemplo 1: Encuentre el área de la siguiente ecuación.
F(x,y) = x2 + 2y2 + xy +x -2y +2 = 0
Solución: Primero, definimos nuestra ecuación en términos de desigualdad: F(x,y) ≤ 0. El área es la integral definida para esta ecuación. Realicemos la integral, comenzando con los límites. La línea de límite pasa por los dos ejes, así que nuestros límites son:
y = 0 hasta y = 4.
x = 0 hasta x = 4.
Resolviendo la integral, obtenemos: A = 4/3 [43/3 – 0] = 64/3 unidades cuadradas.
Ejemplo 2: Encuentre la área encerrada por la siguiente ecuación.
F(x,y) = x2 – 6xy + 2y2 + 8x + 3y – 8 = 0
Solución: Primero, definimos nuestra ecuación en términos de desigualdad: F(x,y) ≤ 0. El área es la integral definida para esta ecuación. Realicemos la integral, comenzando con los límites. La línea de límite pasa por los dos ejes, así que nuestros límites son:
y = 0 hasta y = 4.
x = 0 hasta x = 4.
Resolviendo la integral, obtenemos: A = 4/3 [83/3 – 4] = 64/3 unidades cuadradas.
Ejemplo 3: Encuentre el área de la siguiente ecuación.
F(x,y) = xy – 3x + 2y2 + 5 = 0
Solución: Primero, definimos nuestra ecuación en términos de desigualdad: F(x,y) ≤ 0. El área es la integral definida para esta ecuación. Realicemos la integral, comenzando con los límites. La línea de límite pasa por los dos ejes, así que nuestros límites son:
y = 0 hasta y = 4.
x = 0 hasta x = 4.
Resolviendo la integral, obtenemos: A = 4/3 [33/3 – 4] = 36/3 unidades cuadradas.