Clase Educativa del Teorema del Cálculo

Introducción: En esta clase educativa haremos una introducción al Teorema del Cálculo, su teoría y explicación y tres ejemplos prácticos resueltos con fórmulas.

Teorema del Cálculo

El Teorema del Cálculo, también denominado Derivada Implícita o Implicación, es un teorema matemático que relaciona la derivada de una función f(x) con la variación de esta con respecto a otra variable que está implícita en su definición.

Por ejemplo, para una función f(x) = 2x² + y², el Teorema del Cálculo nos indica que la derivada de f(x) respecto a x (∂f/∂x) es igual a la variación de f(x) cuando aumentamos x respecto a otra variable. En este caso, la variable en cuestión es y.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Consideremos la función f(x) = x³ + x² + 3x + 5. Calcula la derivada de f(x) respecto a x.

Solución: Usando el Teorema del Cálculo, la derivada de f respecto a x es igual a la variación de f cuando x varía. Dado que x³ y x² son función cuadráticas (y por tanto variarán linealmente al variar x) y 3x + 5 son constantes; la derivada de f(x) con respecto a x es:

∂f/∂x = 3x² + 2x + 3

Ejemplo 2: Consideremos la función g(x) = x³ + 2x² + 3x + 1. Calcula la derivada de g(x) respecto a x.

Solución: Usando el Teorema del Cálculo, la derivada de g respecto a x será igual a la variación de g cuando x varía. Dado que x³ y 2x² son función cuadráticas (y por tanto variarán linealmente al variar x) y 3x + 1 son constantes; la derivada de g(x) con respecto a x es:

∂g/∂x = 3x² + 4x + 3

Ejemplo 3: Consideremos la función h(x) = x⁴ + 5x³ + 7x² + 9x + 1. Calcula la derivada de h(x) respecto a x.

Solución: Usando el Teorema del Cálculo, la derivada de h respecto a x será igual a la variación de h cuando x varía. Dado que x⁴, 5x³ y 7x² son función cuadráticas (y por tanto variarán linealmente al variar x) y 9x + 1 son constantes; la derivada de h(x) con respecto a x es:

∂h/∂x = 4x³ + 15x² + 14x + 9