Clase Educativa: Teorema Fundamental Del Cálculo
Introducción
El Teorema Fundamental del Cálculo es uno de los principios matemáticos fundamentales utilizados en el análisis de funciones, también conocido como Teorema de los Flujos Integrales. Está relacionado con los conceptos generales de integrales, derivadas, curvas y áreas bajo ellas. El teorema se refiere a las relaciones entre el cambio en el valor de la integral a intervalos de tiempo fijos, que se refleja en el cambio en la función entre los límites de un intervalo de tiempo.
Teoría Explicada
El teorema fundamental del cálculo se basa en una propiedad matemática conocida como el Principio de los Flujos Integrales. Esta propiedad se refiere al hecho de que la variación en el flujo de una integral debe igualar el cambio en la función evaluada entre los límites de un intervalo. Esto significa que el cambio en la integral es igual a la suma de los cambios en la función evaluada entre los límites de un intervalo. Esto se ilustra en la siguiente fórmula:
Diferencial Integral = Suma de Cambios en la Función
Esto se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo y se aplica a casi todos los tipos de funciones, ya sean de una sola variable o de varias variables. El teorema se utiliza comúnmente para encontrar áreas bajo curvas, lo que resulta en la integral definida y en derivadas.
Ejemplos Prácticos Resueltos con Fórmulas
Ejemplo 1
Calcular la integral de f (x) = 2x^3 en el intervalo de [-1, 2].
En este caso, la integración se realiza mediante el uso del Teorema Fundamental del Cálculo. Primero, debemos encontrar la primitiva para la función. Como se trata de una función cuadrática, la primitiva es:
f'(x) = 6x^2 + c
Ahora, sustituimos los límites para encontrar un valor para c.
Reemplazando x = -1, obtenemos: f’ (-1) = 6 (-1) ^ 2 + c = -6 + c
Reemplazando x = 2, obtenemos: f'(2) = 6 (2) ^2 + c = 12 + c
Como f ‘(-1) = f’ (2) entonces:
-6 + c = 12 + c
Entonces, c = 6
Por lo tanto, la primitiva es f’ (x) = 6x^2 + 6
Ahora, vamos a utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integral.
∫f (x) dx = f’ (x) dx
Entonces,
∫f (x) dx = 6x^2 + 6 dx
Ahora, reemplazamos los límites
∫f (x) dx = 6x^2 + 6 dx = ∫ y = -1 a 2 [6(x ^2 + 6] dx
Evaluamos la integral:
∫f (x) dx = 6x^2 + 6 dx = [6x^3/ 3] y = -1 a 2
Finalmente, obtenemos el resultado:
∫f (x) dx = 6x^2 + 6 dx = [6x^3/ 3] y = -1 a 2 = 49/3.
Ejemplo 2
Calcular la integral de f (x) = sinx en el intervalo [0, π].
En este caso, la integración se realiza mediante el teorema fundamental del cálculo. Primero, encontrar la primitiva para la función. La primitiva es:
f'(x) = cosx + c
Ahora, sustituimos los límites para encontrar un valor para c.
Reemplazando x = 0, obtenemos: f’ (0) = cos 0 + c = 1 + c
Reemplazando x = π, obtenemos: f’ (π) = cos π + c = -1 + c
Como f'(0) = f'(π) entonces
1 + c = -1 + c
Entonces, c = -1
Por lo tanto, la primitiva es f’ (x) = cosx -1
Ahora, vamos a utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integral.
∫f (x) dx = f’ (x) dx
Entonces,
∫f (x) dx = cosx – 1 dx
Ahora, reemplazamos los límites
∫f (x) dx = cosx – 1 dx = ∫ y = 0 a π [cosx -1] dx
Evaluamos la integral:
∫f (x) dx = cosx – 1 dx = [sinx] y = 0 a π
Finalmente, obtenemos el resultado:
∫f (x) dx = cosx – 1 dx = [sinx] y = 0 a π = 0.
Ejemplo 3
Calcular la integral de f (x) = lnx en el intervalo [1, e].
En este caso, la integración se realiza mediante el uso del Teorema Fundamental del Cálculo. Primero, encontrar la primitiva para la función. La primitiva es:
f'(x) = 1/x + c
Ahora, sustituimos los límites para encontrar un valor para c.
Reemplazando x = 1, obtenemos: f’ (1) = 1/1 + c = 1 + c
Reemplazando x = e, obtenemos: f’ (e) = 1/e + c = 1 + c
Como f’ (1) = f’ (e) entonces
1 + c = 1 + c
Entonces, c = 0
Por lo tanto, la primitiva es f’ (x) = 1/x
Ahora, vamos a utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integral.
∫f (x) dx = f’ (x) dx
Entonces,
∫f (x) dx = 1/x dx
Ahora, reemplazamos los límites
∫f (x) dx = 1/x dx = ∫ y = 1 a e [1/x] dx
Evaluamos la integral:
∫f (x) dx = 1/x dx = [lnx] y = 1 a e
Finalmente, obtenemos el resultado:
∫f (x) dx = 1/x dx= [lnx] y = 1 a e = ln e – ln 1 = ln e.