Teorema De Rolle

.

Teorema De Rolle

El Teorema De Rolle es un principio matemático que establece que si una función continua en un segmento [a,b] es derivable en cada punto de ese segmento, y además es tal que f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo (a,b) en el que la derivada f'(c) = 0. Esto significa que existe un punto (c) dentro del intervalo donde la pendiente de la función es cero.

Ejemplos prácticos

1. Sean f(x) = x³ – 4x² + 9 sabemos que la derivada es f'(x) = 3x² – 8x aplicando el Teorema De Rolle, f(3) = f(–3) = 0
   
   Solución:
   
   Para encontrar el punto c,

   3x² – 8x = 0
   
   x(3x – 8) = 0
   
   x = 0; x = 8/3
   
   Así que el punto c está entre -3 y 3 y es x = 8/3.

2. Sarah observa que f(–1) = f(3) = 10. Aplicando el Teorema De Rolle,

   f(x) = x³ + 4x – 6
   
   f'(x) = 3x² + 4
   
   
   Solución:
   
   Para encontrar el punto c,
   3x² + 4 = 0
   
   x ( 3x + 4 ) = 0
   
   x= 0; x = -4/3
   
   El punto c está entre -1 y 3 y es x = -4/3.

3. Sean f(x) = x⁴ + 3x² + 3 cuya derivada es f'(x) = 4x³ + 6x sabemos que f(2) = f(-1) = 4
   
   
   Solución:
   
   Para encontrar el punto c,
   4x³ + 6x = 0
   
   x(4x² + 6) = 0
   
   x = 0; x = -3/2
   
   El punto c está entre -1 y 2 y es x = -3/2.