Teorema Del Valor Intermedio

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Teorema del Valor Intermedio

El teorema del valor intermedio, también conocido como teorema de Lagrange, se refiere a la función continua en un intervalo cerrado y afirma que si se asigna un valor a la función en los extremos del intervalo, entonces existe al menos un punto intermedio en el intervalo donde el valor de la función es igual a la media entre los valores extremos.

Definición

Formalmente, el teorema del valor intermedio establece lo siguiente: para cada función continua en un intervalo cerrado [a, b], y cada valor real y tal que f(a) ≤ y ≤ f(b), existe al menos un punto c ∊ (a, b) tal que f(c) = y.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1

Supongamos que f está definida en el intervalo cerrado [3,6] y que f(3) = 4 y f(6) = 8. Entonces el teorema del valor intermedio dice que hay al menos un punto c dentro del intervalo (3,6) tal que f(c) = 6, es decir, la media entre 4 y 8. Por lo tanto, hay un c tal que f(c) = 6.

Ejemplo 2

Supongamos que f está definida en el intervalo cerrado [1,5] y que f(1) = 8 y f(5) = 2. Entonces el teorema del valor intermedio dice que hay al menos un punto c dentro del intervalo (1,5) tal que f(c) = 5, es decir, la media entre 8 y 2. Por lo tanto, hay un c tal que f(c) = 5.

Ejemplo 3

Supongamos que f está definida en el intervalo cerrado [-1,4] y que f(-1) = 1 y f(4) = 7. Entonces el teorema del valor intermedio dice que hay al menos un punto c dentro del intervalo (-1,4) tal que f(c) = 4, es decir, la media entre 1 y 7. Por lo tanto, hay un c tal que f(c) = 4.