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Teorema de Weierstrass-Bolzano
El Teorema de Weierstrass Bolzano afirma que toda función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ tiene, al menos, un punto de mínimo y un punto de máximo en ese mismo intervalo.
Teoría Explicada
Partamos de la definición de función continua. Para ello, diremos que una función $f$ es continua en un intervalo $[a,b]$, entonces sus derivadas parciales se acotan y su límite $\displaystyle \underset{(x,y) \to (x_0, y_0)}{\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)}} f(x,y)$, provee un valor único de $f$ en el punto $(x_0, y_0) \in \mathbb{R^2}$. Esto último significa que las curvas que describen a $f$ nunca tienen discontinuidad.
Una vez dicho esto, en el Teorema de Weierstrass-Bolzano partimos de la Idea de que, si estando en el intervalo compacto $[a,b]$, donde no hay discriminación entre los bordes del intervalo, la función $f$ es satisfactoria continuã, entonces existen al menos un punto mínimo y al menos un punto máximo en el intervalo. En términos matemáticos, si podemos afirmar que $\underset{x \in [a,b]}{\min\{ f(x) \}}$ y $\underset{x \in [a,b]}{\max\{ f(x) \}} \in \mathbb{R}$. Esto último, representa un punto en que la función $f$ adquiere un valor extremo que le hace subir y bajar en un mismo punto, algo imposible si de verdad existiera una división por medios de un índice de orden como el discontinuo.
Ejemplos Prácticos con Fórmulas Resueltos
Ejemplo 1
Consideremos la función $f(x)=2x^2+2x$, esta función es continua en el intervalo $[-1, 2]$. Nuestro objetivo es encontrar los valores extremos de $f$ en este intervalo. La derivada de $f$ es $f'(x)=4x+2$. La solución de esta ecuación será $x_0= \frac{-2}{4} = – \frac{1}{2}$.
Por el Teorema de Weierstrass-Bolzano, sabemos que hay al menos un punto de mínimo y al menos un punto de máximo en este intervalo. Por lo tanto, evaluaremos la función $f$ en los límites del intervalo, es decir, el punto $(-1)$ y $2$. Esto es $f(-1)=2(-1)^2+2(-1) = -2$ y $f(2)=2(2)^2+2(2) = 12$.
Finalmente, no resta más que compararlos y ver cuál es el valor mayor y cuál el menor. El menor es $-2$ dado el proceso anterior, por lo que el punto $x=-1$ contiene el mínimo local de la función $f$. Lo mismo sucede con el punto $x=2$, el cual contiene el máximo de la función $f$. Por lo tanto, el Teorema de Weierstrass-Bolzano se cumple para la función $f$ en el intervalo $[-1,2]$.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la función $f(x)=2x^3+x$. Esta función es continua en el intervalo $[-1,1]$. La derivada de la misma será $f'(x)=6x^2+1$. La solución de esta ecuación será $x_0= \frac{-1}{6} = – \frac{1}{3}$.
En este caso, nuevamente debemos evaluar la función $f$ en los límites del intervalo, esto es $f(-1)=2(-1)^3+(-1)=-3$ y $f(1)=2(1)^3+1=5$. Al igual que el punto anterior, no resta más que comparar los valores de los extremos y el valor de $f(-\frac{1}{3})$ para encontrar las soluciones. El punto $x=-1$ contiene el mínimo y $x=1$ contiene el máximo lo cual confirma el Teorema de Weierstrass-Bolzano para la función $f$ en el intervalo $[-1,1]$.
Ejemplo 3
Veamos ahora la función $f(x)=3x^3-x^2$. Esta función es continua en el intervalo $[-2,2]$. La derivada de la misma será $f'(x)=9x^2-2x$. La solución de esta ecuación será $x_0= \frac{2}{9} = \frac{2}{3}$.
En este caso, al igual que los casos anteriores, debemos evaluar la función $f$ en los límites del intervalo, esto es $f(-2)=3(-2)^3-(-2)^2=-16$ y $f(2)=3(2)^3-(2)^2=16$. Nuevamente al comparar estos valores con el valor $f(\frac{2}{3})= \frac{38}{9}$ podemos encontrar los valores extremos de la función $f$. El punto $x=-2$ contiene el mínimo y $x=2$ contiene el máximo lo cual confirma el Teorema de Weierstrass-Bolzano para la función $f$ en el intervalo $[-2,2]$.