Teoría de Fracciones
Introducción
Una fracción es definida como la división de dos números, conocidos como numerador y denominador, respectivamente. Esta clase educativa pretende explicar las principales propiedades y teorías que están por debajo de este concepto básico, todas ellas necesarias para formular, resolver y modelar problemas matemáticos de mayor complejidad.
Contenido de la Clase Educativa
- Definición de fracciones y sus partes.
- Consolidación de fracciones.
- Simplificación de fracciones.
- Suma, resta, multiplicación y división de fracciones.
- Resolución de ecuaciones fraccionales.
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1 – Simplificación de Fracciones
Dados los números enteros x y y, simplificar la siguiente fracción:
$$\frac{2x^2 + 3y^2}{4x^2 + 3y^2} $$
Para resolver este ejemplo, primero buscamos el Común Divisor de ambos numeradores y denominadores.
Común Divisor: $$3y^2 $$
Mediante la simplificación fraccional podemos expresar la fracción inicial como la fracción reducida:
$$\frac{2x^2/3y^2 + 1}{4x^2/3y^2 + 1} = \frac{2/3 + 1/1}{4/3 + 1/1} = \frac{3/3}{5/3} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5} $$
Ejemplo 2 – Resolución de Ecuaciones Fraccionales
Dado el siguiente sistema de dos ecuaciones fraccionales con dos incógnitas x y y, resolverlo:
$$\frac{2x}{3y} = \frac{5}{7} \\
\frac{x}{y} = \frac{2}{3} $$
Para resolver este ejemplo, podemos multiplicar ambas fracciones por los denominadores correspondientes (de modo que ambas fracciones queden como múltiplos enteros) para luego poner entre paréntesis cada uno de los términos del lado izquierdo de las ecuaciones. Lo anterior quedaría reflejado de la siguiente forma:
$$2x(7) = 3y(5) \\ x(3) = y(2) $$
Luego, sumando los términos del lado izquierdo obtenemos que:
$$2x(7) + x(3) = 3y(5)+y(2) \\
\Rightarrow 9x = 13y $$
Lo cual, siguiendo con la resolución del sistema, se puede escribir en la forma:
$$\frac{9x}{13y} = \frac{9x}{13y} \\
\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{9}{13} $$
De aquí podemos inferir que la solución para x y y es x = 9 y y = 13.
Ejemplo 3 – Suma de Fracciones
Dadas las siguientes fracciones:
$$\frac{1}{x+2},\frac{2x-1}{4x},\frac{4x}{x+1} $$
Realice la suma entre todas ellas llevando el resultado a su forma más reducida posible.
Para resolver este ejemplo, primero comencemos desde la visualización de la operación a realizar:
$$\frac{1}{x+2} + \frac{2x-1}{4x} + \frac{4x}{x+1} $$
Luego, podemos llevar todas las fracciones al mismo denominador, en este caso el denominador común, haciendo una multiplicación entre cada una de las fracciones y el denominador común.
Denominador Común: $$(x+2)(4x)(x+1)$$
Expandiendo y simplificando la multiplicación obtenida:
$$\frac{(x+2)(4x)(x+1)}{(x+2)(4x)(x+1)} = \frac{4x^2 + 16x + 4x + 8+4x+2}{4x^3 + 9x^2 + 8x +2} $$
Por último, aplicando la simplificación fraccional sobre los numenradores y denominadores obtenemos:
$$\frac{4x^2 + 16x + 4x + 8+4x+2}{4x^3 + 9x^2 + 8x +2} = \frac{4x+3}{3x+1} $$
De esta forma, podemos verificar que la suma de las tres fracciones nos arrojó como resultado la fracción $$\frac{4x+3}{3x+1} $$.