¿Que es la Teoría de los Números Gaussianos?
La Teoría de los Números Gaussianos es una de las principales ramas de la teoría de números,
en la cual se estudian los números enteros llamados números gaussianos, que son aquellos cuya
representación en la notación algebraica usual adquiere la forma
a + bi, donde a y b son números enteros y i es la raíz
principal de -1. Estos números forman el cuerpo de los números Gaussianos.
Definición de Números Gaussianos
Un número Gaussiano es una combinación lineal entre un número real y un número complejo. Los números
Gaussianos pueden estar definidos como un número a+bi, en donde a y b son números reales e i es la
raíz principal de -1. La extensión de la teoría de números naturales se denomina este cuerpo de
números, y los mismos se interpretan como una especie de combinación entre los números reales y
los complejos.
3 ejemplos prácticos de Números Gaussianos
Ejemplo 1
Calcula la suma de 7 – 3i y 4 + 2i.
Solución:
Usaremos la regla general para la suma de números Gaussianos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
En nuestro caso, tenemos que:
(7 – 3i) + (4 + 2i) = (7 + 4) + (-3 + 2)i
y, al simplificar, obtenemos que:
(7 – 3i) + (4 + 2i) = 11 – i
Ejemplo 2
Calcula el producto de 2 – 5i y 6 – 4i.
Solución:
Usaremos la regla general para el producto de números Gaussianos:
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
En nuestro caso, tenemos que:
(2 – 5i) (6 – 4i) = (2 x 6 – 5 x 4) + (2 x -4 + 6 x -5)i
y, al simplificar, obtenemos que:
(2 – 5i) (6 – 4i) = 32 + 10i
Ejemplo 3
Calcula el cociente de 9 + 4i y 2 – 3i.
Solución:
Usaremos la regla general para el cociente de números Gaussianos:
(a + bi) / (c + di) = (ac+bd)/(c2 + d2) + [(bc-ad)/(c2 + d2)]i
En nuestro caso, tenemos que:
(9 + 4i) / (2 – 3i) = (9 x 2 + 4 x -3)/(22 + (-3)2) + [(4 x 2 + 9 x (-3))/(22 + (-3)2)]i
y, al simplificar, obtenemos que:
(9 + 4i) / (2 – 3i) = -7 + 5i