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Clase educativa sobre Transformaciones de Funciones de matemáticas
Introducción
Las transformaciones de funciones se refiere a los cambios que se producen al realizar un cambio de variables en una función dada. Esto puede llevarse a cabo de manera gráfica o mediante cálculo. El propósito de esta clase es entender y practicar diferentes transformaciones de funciones con la ayuda de ejemplos y fórmulas.
Teoría
Las transformaciones de funciones afectan tanto la gráfica de una función como su expresión. Estas transformaciones varían dependiendo del tipo de función; sin embargo, hay algunos parámetros básicos que están presentes en todos los casos. Estos parámetros se conocen como translación, rotación, escala y sesgo.
Translación
La translación implica cambiar (trasladar) la gráfica de una función cambiando el valor de una de sus variables. Esto se puede hacer cambiando el valor de “a” en la fórmula de la función, de esta forma el origen de la gráfica se cambia. Por ejemplo, si tenemos una función que se representa por f(x) = ax + b, entonces se puede cambiar el valor de a para trasladar la gráfica. Un cambio positivo en a causa una traslación hacia arriba, y un cambio negativo en a causa una traslación hacia abajo.
Rotación
La rotación de la gráfica de una función se produce al cambiar el valor de «b» en la fórmula. Si tenemos la función anterior, un cambio positivo en b causa una rotación en sentido horario, y un cambio negativo produce una rotación en sentido antihorario.
Escala
La escala de la gráfica se produce al cambiar el valor de «a» en la fórmula de la función. Un cambio positivo en a causa un aumento de la pendiente de la gráfica. Un cambio negativo en a resulta en una disminución de la pendiente.
Sesgo
El sesgo es un cambio gradual en el ángulo de la gráfica, que usualmente implica tanto la translación como la rotación. Un cambio positivo en el sesgo causa una rotación en sentido horario, y un cambio negativo causa una rotación en sentido antihorario.
Ejemplos Prácticos:
Ejemplo 1:
La función es f(x) = (x − 2)2 + 4
Paso 1: Realice una translación de 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.
Respuesta: La nueva función es: f(x) = (x − 4)2 + 5
Paso 2: Realice una rotación de 90° en sentido horario alrededor de (0, 0).
Respuesta: La nueva función es: f(x) = (4 − x)2 − 4
Ejemplo 2:
La función es f(x) = (x + 2)3
Paso 1: Realice una escala de 2 unidades hacia abajo.
Respuesta: La nueva función es: f(x) = (x + 2)2
Paso 2: Realice una rotación de 90° en sentido antihorario alrededor de (0, 0).
Respuesta: La nueva función es: f(x) = −(2 + x)2
Ejemplo 3:
La función es f(x) = (x + 1)3
Paso 1: Realice un sesgo de 2 unidades hacia arriba.
Respuesta: La nueva función es: f(x) = (x + 1)3 + 2
Paso 2: Realice una rotación de 45° en sentido antihorario alrededor de (0, 0).
Respuesta: La nueva función es: f(x) = −(x + 1)3 + 2