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Transformaciones Geométricas: Teoría y Ejemplos Prácticos
Introducción
Las transformaciones geométricas son movimientos matemáticos que cambian la forma, la ubicación y el tamaño de objetos, figuras y estructuras geométricas como lineas, polígonos, parábolas y curvas. Una transformación matemática permite mover una figura en un plano para cambiar su posición, realizar rotaciones o cambios dimensionales. El estudio de las transformaciones geométricas puede ayudar a comprender conceptos relevantes como translaciones, homotecias o flasheos. En esta clase vamos a abordar la teoría de las transformaciones geométricas así como explorar algunos ejemplos prácticos para que puedas comprender mejor este importante tema.
Translación
Una translación es una transformación en la que se mueve un objeto de una posición a otra, sin cambiar su dirección, ángulos o dimensiones. Esta es una vecindad matemática que se ejecuta moviendo cada punto de un objeto en una misma dirección y una misma distancia. Por ejemplo, las translaciones se utilizan en el diseño gráfico para mover la imagen de un lugar al otro, sin cambiar su forma.
Ejemplo Práctico
Imagina que quieres mover la figura de abajo desde su posición inicial A1 a la posición A2 con una translación. Para lograr esto, necesitas mover cada punto de la figura 4 unidades hacia la izquierda. La figura a continuación muestra cómo queda la figura con la translación:
La fórmula para realizar una translación es:
(x + a, y + b)
Donde a es el valor de la translación en el eje de abscisas y b es el valor de la translación en el eje de ordenadas. En el ejemplo anterior, a = -4 u (porque se mueve hacia la izquierda 4 unidades) y b = 0 (porque no hay translación en el eje de ordenadas).
Rotación
Una rotación es una transformación matemática que se emplea para cambiar la forma de un objeto o figura. En otras palabras, se mueve un objeto alrededor de un punto fijo. Por ejemplo, en algunos establecimientos comerciales los productos exhibidos se suelen rotar para lograr una mejor disposición visual y optimizar el espacio.
Ejemplo Práctico
La siguiente figura muestra un cuadrado que se tiene que rotar en 45 grados en torno al punto A. La figura de abajo muestra cómo queda la figura después de la rotación:
La fórmula para realizar una rotación es:
(x * cosθ + y * – sinθ, x * sinθ + y * cosθ)
Donde θ es el ángulo de rotación. En el ejemplo anterior, &theta = 45°.
Homotecia
Una homotecia es una transformación matemática que se emplea para cambiar el tamaño de un objeto o figura. En otras palabras, una homotecia cambia el tamaño de una figura sin que varíe el ángulo, la dirección o la forma. Por ejemplo, los diseñadores gráficos usan homotecias para cambiar el tamaño de figuras sin afectar su forma original.
Ejemplo Práctico
La siguiente figura muestra un cuadrado que se tiene que aumentar el tamaño en un factor de 2 en torno al punto A. La figura de abajo muestra cómo queda la figura después del cambio dimensional:
La fórmula para realizar una homotecia es:
(x * a, y * b)
Donde a es el factor de homotecia en el eje de abscisas y b es el factor de homotecia en el eje de ordenadas. En el ejemplo anterior, a = 2 (porque se aumenta el tamaño en un factor de 2 en el eje de abscisas) y b = 2 (porque se aumenta el tamaño en un factor de 2 en el eje de ordenadas).
Conclusión
Esperamos que esta clase sobre transformaciones geométricas sea de tu interés y te ayude a comprender mejor conceptos como translaciones, rotaciones y homotecias. Recuerda que el estudio de las transformaciones geométricas es una parte fundamental de la matemática que permite trabajar con figuras y objetos en un soporte digital.