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Teorema del Seno y del Coseno

Introducción al Teorema del Seno y del Coseno

El Teorema del Seno y del Coseno son herramientas muy útiles a la hora de estudiar triángulos. Estos teoremas nos permiten calcular la longitud de los lados de un triángulo si conocemos la medida de uno de sus ángulos y la longitud de dos de sus lados. Los teoremas permiten encontrar la longitud del tercer lado, el área del triángulo, y la medida de los otros dos ángulos.

Fórmulas del Teorema del Seno y del Coseno

Las fórmulas matemáticas para el Teorema del Seno y del Coseno se descubrieron en el siglo XVII. Estas fórmulas son las siguientes:

Teorema del Seno: si conocemos el ángulo A del triángulo y la longitud de los dos lados adyacentes a ese ángulo (a y b), entonces la longitud del tercer lado (c) se calcula con la siguiente fórmula:

c = a sin A / sen A + b sin A / sen A

Teorema del Coseno:si conocemos los tres lados del triángulo (a, b y c), entonces la longitud del ángulo A se calcula con la siguiente fórmula:

A = arccos [(b² + c² – a²) / 2bc]

Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 7 cm y 8 cm. El ángulo A adyacente al lado de 8 cm es el que buscamos. Primero usamos la fórmula del Teorema del Coseno para encontrar el ángulo:

A = arccos [(7² + 8² – 5²) / 2·7·8]

A = arccos [169 / 112]

A = arccos 1,50139

A = 67,19°

Ahora que conocemos la longitud del ángulo A, usamos la fórmula del Teorema del Seno para encontrar la longitud del lado adyacente de 7 cm:

c = 5·sen A / sen A + 7·sen A / sen A

c = 5·sen 67,19° / sen 67,19° + 7·sen 67,19° / sen 67,19°

c = 3,94 cm

Ejemplo 2

Ahora supongamos que tenemos un triángulo cuyos ángulos miden 60°, 30° y 90°. El lado que buscamos mide 6 cm. Primero usamos la fórmula del Teorema del Seno para encontrar la longitud del lado adyacente a 30°:

c = a·sen 30° / sen 30° + b·sen 30° / sen 30°

c = a·sen 30° / sen 30° + b·sen 30° / sen 30°

c = 6·sen 30° / sen 30° + 6·sen 30° / sen 30°

c = 3·sen 30° / sen 30°

c = 3 cm

Ejemplo 3

Finalmente, supongamos que tenemos un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 6 cm. El área del triángulo es la que buscamos. Usamos primero la fórmula del Teorema del Coseno para encontrar la longitud del ángulo A:

A = arccos [(5² + 6² – 4²) / 2·5·6]

A = arccos [61 / 60]

A = arccos 1,01667

A = 84,45°

Ahora que conocemos la longitud del ángulo A, usamos la fórmula del Teorema del Seno para encontrar el área del triángulo:

Area = a·b·sen A / 2

Area = 4·5·sen 84,45° / 2

Area = 12 cm²